ananbxora

Amor Vincit Omnia

Categoría: Uncategorized

El determinante de la matriz adjunta

A \in M_{nxn} y sea A^{*} su adjunta entonces demostrar que det(A^{*}) = \overline{det(A)}

Demostración:

Por definición de matriz adjunta se tiene: A^{*}_{ij} = \overline{A_{ji}}

det(A^{*}) = \sum_{\tau \in S_{n}} Sig(\tau) \prod_{i=1}^{n}  A_{i\tau(i)}^{*}

\qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad = \sum_{\tau \in S_{n}}^{} Sig(\tau) \prod_{i=1}^{n} \overline{A_{\tau(i)i}}

Por propiedades del conjugado de una suma \overline{a+b} = \overline{a} + \overline{b}

\qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad = \overline{\sum_{\tau \in S_{n}}^{} Sig(\tau) \prod_{i=1}^{n} A_{\tau(i)i}}

Recordando a S_{n} tenenos que: \forall \, \tau\in\,S_{n} \; \exists\, \tau^{-1} tal que (\tau)(\tau^{-1}) = Id es decir que podemos encontrar para toda j en el conjunto de indices una s de tal manera que: j = \tau(s)  \Rightarrow \tau^{-1}(j) = s

\therefore A_{\tau(s)s} = A_{j\tau^{-1}(j)} Además el signo de una permutación y su inversa es el mismo Sig(\tau) = Sig(\tau^{-1})

\qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad = \overline{\sum_{\tau^{-1} \in S_{n}}^{} Sig(\tau^{-1}) \prod_{j=1}^{n} A_{j\tau^{-1}(j)}}

Como estamos tomando cualquier permutación en S_{n} en particular \tau^{-1} es una permitación entonces renombrando

\qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad = \overline{\sum_{\sigma \in S_{n}}^{} Sig(\sigma) \prod_{i=1}^{n} A_{\sigma(i)i}} = \overline{det(A)}

\square

 

Anuncios

Una calaverita para mi hermana

La muerte al ver a sara pensó
esta, está más flaca que yo
mucha envidia fue la que sintió
pues de su dieta nada le funcionó

La muerte le pregunta con reproche
¿por qué estás tan delgada sara?
mi angustia está saliendo muy cara
ya no me queda mi vestido de noche

No existe misterio, mi huesada amiga
pues tengo dos hijas que son unas jijas
todo el día y noche se la pasan gritando
que hasta el hambre me están quitando

La muerte espantada miraba a sara
con dos hijas te fuiste a jincar
ahora en los huesos te vas a quedar
en vez de dos hijas me ire a entrenar

Muerte ve a entrenar para tu lonja bajar
y en tu lindo vestido de noche entrar
te espantan mis jijas por lo locas que están
pero soy su madre y nunca las voy a dejar