Utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz para Integrales

por ananbxora

Este problema viene en la página 422, Problema 23 del capítulo 14 del Libro Cálculo Infinatesimal – Michael Spivak

Supongase que f' es integrable en [0,1] y f(0) = 0. Demostrar que para toda x \in [0,1] se tiene que |f(x)| \leq \sqrt {\int_0^{1} (|f'|)^2}

(El truco de está demostración es utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para integrales, pero para eso habrá que difinir nuevas funciones.)

Sean f' = f y g = 1

f es contunia por que f' es integrable y la función constante también es continua.

Por Cauchy-Scwarz tenemos

f(x)^{2} = (\int_0^{x} f'(t) \delta t)^{2} \leq \int_0^{x} {f'(t)}^{2} \delta t \int_0^{x} {1}^{2}

Como la \int_0^{x} 1^2 \leq \int_0^{1} 1^2   y por esto tenemos

(\int_0^{x} f'(t) \delta t)^{2} \leq \int_0^{x} {f'(t)}^{2} \delta t \int_0^{x} 1^2 \leq \int_0^{1} f'(t)^2 \delta t

Por el torema del encaje

(f(x))^{2} \leq \int_0^{1} {f'(t)}^{2} \delta t

Aplicando raíz de ambas partes.

|f(x)| \leq \sqrt {\int_0^{1} (|f'|)^2} \square

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