An es Simple.

por ananbxora

A_{n} es simple para n \geq 5

\text{Demostraci\'on}

Supongamos que existe H \lhd A_{n} distinto de la indentidad.

P.D H = A_{n}

Sea b \in H, b \neq e, tal que

\forall { i} \in {\mathbb{I}}_{n} \Rightarrow b(i) = j para algun \text{j} \in {\mathbb{I}}_{n}

Sea a un {3-ciclo} en A_{n} tal que a mueve a j y fija a i.

Es decir, por la elección de a.

b(a(i)) = b(i) = j

a(b(i)) = a(j) = i

*Recordemos que a y b son permutaciones o lo que es lo mismo funciones biyectivas de {\mathbb{I}}_{n} \rightarrow {\mathbb{I}}_{n}

por lo tanto ab\neq ba es dcir no conmutan \Rightarrow [a,b]\neq e donde [a,b] es el conmutador.

sea aba^{-1}b^{-1} \neq e

Sabemos que a y a{^-1} tienen la misma estructura ciclica.

Ejemplo: a \in S_{n} y sea a = (123) su inverso es a^{-1}=(213) y como es obvio tiene la misma estructura ciclica.

y el conjugado de a y su inverso también tienen la misma estructura ciclica es decir ba^{-1}b^{-1} tienen la misma estructura ciclica por lo tanto

ba^{-1}b^{-1} es un 3-ciclo

a(ba^{-1}b^{-1}) es un producto de 2 3-clicos

\Rightarrow aba^{-1}b^{-1} mueve a lo más 6-elementos (Ver cada caso)

digamos que son \{a,b,c,d,e,f\}

Definamos F=\{ c \in A_{n} | c mueve a lo más \{a,b,c,d,e,f\}\}

por lo tanto F\simeq A_{6}

\Rightarrow aba^{-1}b^{-1} \in F. Además b \in H

y recordando que H \lhd A_{n} por lo tanto aba^{-1} \in H

también b^{-1} \in H.

por lo tanto ab^{-1}b^{-1} \in H.

por lo tanto ab^{-1}b^{-1} \in F \bigcap H = {e} ó F

por lo tanto F \bigcap H es subgrupo no trivial de F ( no puede ser el trivial por dos razones

el segundo teorema de isormfía y además recordando que H \neq e y F \neq e)

como H \lhd A_{n} y

por el segundo teorema de isotrmorfía

H \bigcap F\lhd F y H\bigcap F\neq e

como F es simple por que F\simeq A_{6} y A_{6} es simple

H \bigcap F = F

por lo tanto F \subset H

por lo tanto H contiene un 3-ciclo

por lo tanto H = A_{n}

por lo tanto A_{n} es simple

\square

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