Raíz de dos es Irracional

Existe varias formas de demostar la irracionalidad de raíz de algun número, la mayoria por reducción al absurdo y suponiedo que los valores del cociente son primos relativos ((p,q) = 1). ¿Pero qué pasa si no supones que sean primos relativos?

Pues veamoslo, se sigue de suponer que no es irracional y por tanto es racional, lo que en algún momento nos llevara a una contradicción.

Definamos el conjunto de los número racionales de la siguiente forma:

{\mathbb{Q} } = {\{ } {p \over{q} } | (p,q) \in\mathbb{Z} {\}}

Demostración: Por contradicción

Supongamos que \sqrt{2} no es irracional,

P.D \sqrt{2} = {p \over { q}}

Elevando al cuadrado

{2} = {p^{2} \over {q^{2}}} \Rightarrow {2q^{2}} = {p^{2}}

Esto quiere decir que p^2 es multiplo de 2. Y se puede expresar de la forma p = 2n, sustituyendo

{2q^{2}} = {(2n)^{2}} \Rightarrow {2q^{2}} = {4n^{2}}

Dividiendo entre 2

{q^{2}} = {2n^{2}}, pero esto quiere decir que q^{2} es multiplo de 2  de nuevo sustituyendo ambas por: p = 2n, q = 2m

\sqrt{2} = {2n \over 2m} \Rightarrow \sqrt{2} = {n \over m}, si repetimos el procedimiento anterior obtendremos de nuevo que…

n y m se puede expresar como multiplo de 2. Por lo que tendriamos una sucesión de la siguiente forma:

\sqrt{2} = {p \over q} = {k \over m} = {k_{1} \over m_{1}} = ... = {k_{n} \over m_{n}} =.... Pero recordando que

p > k > k_{1} > ... > k_{n} > ... Dado que estamos construyendo una sucesion finita de enteros. Cada vez que repetimos el procedimiento, obtentemos un nuevo entero que es multiplo de 2, y que además es menor que su anterior. Dado que {k_{i} \over m_{i}} = {2k_{i-1} \over 2m_{i-1}} con i \in \mathbb{N}

Pero es una sucesión entera infinita acotada, por el método del desenso infinito de fermat. dice que eso es falso. Entonces encontramos la contradicción que deseabamos.

\therefore suponer que \sqrt{2} no es irracional es falso.

es decir \sqrt{2} es irracional \Box.